LP – Grundkonzepte der Algebra (2023)

Äquivalenzverhältnis

Definition:
Eine Äquivalenzrelation ist eine reziproke Beziehung zwischen den Elementen einer Menge.die spezifischen Eigenschaften sind ausreichend. "" es wurde gesagtÄquivalenzverhältnisum, wenn überhauptgolden:

1. (Reflexionsvermögen)
2. (Symmetrie)
3. e(Transitivität).

Definition(Äquivalenzklasse):
Zu niemandemDu kannstÄquivalenzklasse

bestimmend. unter der KlasseQuelleumfasst die Gesamtheit aller Elemente vonDas auchsind gleichwertig.

Beispiel:

1. "" ist eine Äquivalenzrelation auf einer beliebigen Menge.
   die Klasse vonund dann.
2. "„Es gibt keine Äquivalenzbeziehungen.
3. Er kanne"Lass die Teilung vorübergehenohne Ruhe". So ist eseine Äquivalenzrelation.
   Es gibt zwei Äquivalenzklassen, nämliche.

Klassenverhältnisse

Definition:
Ein Verhältnisumes läutetOrdnungsbeziehung, wenn überhauptgolden

1. (Reflexionsvermögen)
2. (Antisymmetrie)
   (das heißt, wennwahr ist, dann musst du es tunist falsch, es sei denn)
3. e(Transitivität).

Definition(Teil-, Gesamtauftrag):
ein geordneter Satzwie oben definiertteilweise bestellt. Gültig für zwei Artikelimmer wollenÖ, es läutetdurch komplett organisiert.

Beispiel:

1. es handelt sich um eine Ordnungsrelation.
2. es handelt sich um eine Ordnungsrelation.

Überwachung:
Beziehungen können mithilfe von Tabellen beschrieben werden:
es istdann haben wir für die Beziehung“"unten abgebildet

Die Symmetrie- und Reflexionseigenschaft (nur-Diagonale Einträge).
für die Beziehung“" Folgende Rendering-Ergebnisse

Auch hier ist leicht zu erkennen, dass die gegebene Relation reflexiv ist. Die Antisymmetrie wird verursacht durch-Eingänge über der Diagonale und- Einträge werden unterhalb der Diagonalen angezeigt.

Beispiel:

1. Finden eines Äquivalenzverhältnissesüber die Mengemit der kleinsten Anzahl von Einträgen w in der Wahrheitstabelle, s.d.,eAnwenden:

   

   
   Da angenommen wird, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt, ist-Einträge diagonal unmittelbar von der Reflexionseigenschaft. Sie bekommen mehr,e, also bekommen auch diese Paare eins-Einfügung über der Diagonale Aus der Transitivitätseigenschaft folgt:. also wir haben 4-Eingänge oberhalb der Diagonale. Aus Symmetriegründen spiegeln wir es und erhalten 4 weitere diagonal- Teilnahmeerklärungen. Die übrigen Felder in der Wahrheitstabelle können seinAusfüllen.
2. Er kannKonstante. zeigen, dass es so ist"Lass die Teilung vorübergehenkeine Ruhe‘ fürist eine Äquivalenzrelation und gibt die relevanten Äquivalenzklassen an.
   1. Kontrollieren, bilden iund 0 endet ohne Restteilbar.
   2. Kontrollieren. Sekeine PauseTeile, so ist eskeine Pauseteilbar. zu genießen.
   3. Er kanne, Zum Beispiel.esie vergehen ohne Ruheteilbar. DortStimmt, das ist esdann eine Summe von zweiteilbare Zahlen und ist daher ohne Rest vollständigteilbar. Also bleibt gespannt.
   4. Die Äquivalenzklassen lauten wie folgt:

      

      
      

Oh Zeit

Definition(kürzester Weg):
Für viele eine Abkürzung (oder Zusammensetzung) erstelleneine Regel verstehen, die beiden gegebenen Elementeein neuer Artikelweist zu, also ein Mapping

Beispiel:

1. esind Operationen (auf Zahlenmengen), die wir bereits kennen.
2. Das arithmetische Mittel:ist auch eine Konjunktion (auch in Zahlenmengen).

Definition(Verband):
Viel, wofür es eine Verknüpfung gibtdefiniert, bedeutetVerband, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:
Für allesgolden:

1. (Isolation)
2. (weibliche Mitarbeiterin)
3. SD.(Element von Neutral)
4. (Art.-Nr. Rückseite)

Definition(Ersatzgruppe):
Gilt auch zusätzlich zu den oben genannten Eigenschaften

Es läutet ErsatzteileÖabelsche Gruppe.

Beispiel:

1. es handelt sich um eine ersetzbare Gruppe im Hinblick auf die Addition. (Ich schreibe:ist eine Bewegungsgruppe.)
2. ist keine multiplikative Gruppe, da die Inversen fehlen.
3. Es ist ein Ersatzteam.
4. es geht niemanden etwas animmer noch relevantein Team.
5. Er kann. nachum.eine Ersatzmannschaft.
   Um dies zu beweisen, überprüfen wir die 5 Eigenschaften:
   1. Isolation: Widder. Jetzt prüfen wir noch einmalVielleicht:

      

      
      Enach den Ergebnissen des Fallesein Widerspruch! Damit gilt.
   2. anwenden

      

      
      
   3. ist das neutrale Element, weil

      

      
      
   4. Zues istdas umgekehrte Element, warum

      

      
      
   5. Die Austauschbarkeit ergibt sich sofort:

      

      
      

begrenzte Gruppen

Bisher haben wir nur Gruppen betrachtet, die unendlich viele Elemente haben. Aus der Definition von Gruppen geht überhaupt nicht hervor, dass dies immer der Fall ist. Daher ist es nicht verwunderlich, dass es auch Gruppen mit einer begrenzten Anzahl von Elementen gibt, die sogenannten endlichen Gruppen.

Beispiel:

1. Er kann.Manchmaleweggegeben. Zeig esum.Es ist ein Ersatzteam.
   Zuerst geben wir die Multiplikationstabelle:

   

   
   Die Isolierung ist leicht zu erkennen. Das Assoziativgesetz kann im Einzelfall überprüft werden. Das neutrale Element ist. Für jedes Element gibt es eine Umkehrung, da jede Zeile eine hatsteht. Austauschbarkeit ist das Ergebnis des symmetrischen Gesamtbildes.
2. Er kannund selbst. nacheine Ersatzmannschaft.
   Auch hier geben wir zunächst die Multiplikationstabelle an:

   

   
   Und hier sieht man sofort die Isolation. Die assoziative Eigenschaft ist, das neutrale Element istund jedes Element in der Gruppe hat eine Umkehrung. Die Austauschbarkeit der Gruppe lässt sich am symmetrischen Aufbau der Tabelle ablesen.

Oh Zeit

Schauen wir uns nun eine besonders wichtige Gruppe an. sei immer da.
Er kann(Ich sprecheModul) die Menge der Restklassen bezüglich der Äquivalenzrelation „endet ohne Pauseteilbar".

Beispiel:
Er kann, nach

• Korrespondierend zu, Zu, Zu,.... ist für,,,...
• es entspricht,,,.... e,,...
• es entspricht,,,... e,,,...

Wir bilden also Äquivalenzklassen

es hat nur 3 verschiedene Elemente.

Definition:
Bei Gruppen spricht man von der ÄquivalenzklasseAuch.

Beispiel:
Zum Beispiel.

Definition(Verbinden mit):
Sie definieren die Mengeeine Ergänzung:

wird ein Ersatzteam sein.

Überwachung:
Die Eigenschaften einer Äquivalenzrelation stellen sicher, dass diese Addition „wohldefiniert“ ist. „Wohldefiniert“ muss so verstanden werden, dass bei Auswahl anderer „Vertreter“ das gleiche Ergebnis erzielt wird:
es istcomeüber die Äquivalenzrelationvon oben. Also mit anderen Wortene. Ihre Immobilienals Äquivalenzrelation, also stellen Sie sicher, dass

bewerben. Mathematisch bedeutet dies, dass die Addition auf diese Weise definiert istist gut definiert.

Beispiel:
Das möchten wir zeigenüber das oben GesagteEs ist ein Team. Zuerst listen wir die Linktabelle auf:

Warum in der Tabelle nur Daten vonpassiert, ist die Gruppe komplett. Die Verbindung kann überprüft werden.ist das neutrale Element und es gibt eines in jeder Zeileauftritt, präsentiert jedes Elementeine inverse Addition Die Gruppe ist kommutativ, wie aus der Symmetrie der Matrix leicht ersichtlich ist.
Folge es (,+) ist eine kommutative Gruppe.

Beispiel:
Emgolden:

1. ,
2. e
3. .

Überwachung:
Oft werden Äquivalenzklassen angegebenauch mit Daten. An diesen Elementen werden dann arithmetische Operationen durchgeführt.informiert.

Beispiel:
In diesem Sinne also, Ö. AucheEs spielt also keine Rolle, wessen „Vertreter“ es istist gewählt.

Körper

Ein Körperist eine kommutative Gruppe, in der eine zweite Operation definiert ist, die irgendwie der ersten Operation entspricht:

Definition:
Er kanneine Austauschgruppe mit einem neutralen Elementenoch ein Link. also rief er an Körper, sein Bezug auf dieist eine Reservegruppe und

für allesgolden.

Überwachung:
Zeigenist ein Körper, 11 Postulate müssen verifiziert werden:

Zu

1. Isolation
2. Assoziativität
3. neutrales Objekt
4. Umkehrelement
5. Austauschbarkeit

Zue

1. Isolation
2. Assoziativität
3. neutrales Objekt
4. Umkehrelement
5. Austauschbarkeit

für beide Verknüpfungen

1. für sie verteilen

   

   
   

Beispiel:

1. es ist ein Körper
2. es ist ein Körper
3. es ist ein Körper.

Abschließend stellt sich die Frage, ob für jedenes stimmtes ist ein Körper. Deshalb definieren wireine andere Verknüpfung, zum Beispiel

Auch hier ergibt sich die „Wohldefiniertheit“ dieses Zusammenhangs aus den Axiomen einer Äquivalenzrelation.

Anregung(ohne Beweis):
dann und nur dann entsteht ein Körperist eine Primzahl.

Überwachung:
Dieser Satz wird drin seinAGLAmuss bewiesen werden.

Definition:
UNDeine Primzahl, so schreiben wir es

Beispiel:

1. (,,) ist kein Körper, wie er auch istes gibt keinen inversen Multiplikationsfaktor:

   

   

   
   
2. (,,) ist ein Feld, wie in den Linktabellen gezeigt:

   

   

   
   

Literarischer Abschluss

Ein Beispiel für „Einheitenrechnung“ findet sich auch bei Johann Wolfgang von Goethe: Faust. Tragödie Teil eins. (Hexenküche):

Du musst verstehen!
Wende eins bis zehn
Und zwei lassen los
Und drei tun dasselbe
du bist reich
Verliere alle vier!
von fünf und sechs
So sagt die Hexe
mach sieben und acht
Siehe wie:
Und neun ist eins
Und zehn ist es nicht.
Das ist Hexerei 101.

Überwachung:
Abgesehen von der Diskrepanz im zweiten Vers ist dies das Berechnungsmoduld.h. der Körper.