LP – Grundkonzepte der Algebra (2023)

Äquivalenzverhältnis

Definition:
Eine Äquivalenzrelation ist eine reziproke Beziehung zwischen den Elementen einer Menge.LP – Grundkonzepte der Algebra (1)die spezifischen Eigenschaften sind ausreichend. "LP – Grundkonzepte der Algebra (2)" es wurde gesagtÄquivalenzverhältnisumLP – Grundkonzepte der Algebra (3), wenn überhauptLP – Grundkonzepte der Algebra (4)golden:

  1. LP – Grundkonzepte der Algebra (5)(Reflexionsvermögen)
  2. LP – Grundkonzepte der Algebra (6)(Symmetrie)
  3. LP – Grundkonzepte der Algebra (7)eLP – Grundkonzepte der Algebra (8)(Transitivität).

Definition(Äquivalenzklasse):
Zu niemandemLP – Grundkonzepte der Algebra (9)Du kannstÄquivalenzklasse

LP – Grundkonzepte der Algebra (10)

bestimmend. unter der KlasseLP – Grundkonzepte der Algebra (11)QuelleLP – Grundkonzepte der Algebra (12)umfasst die Gesamtheit aller Elemente vonLP – Grundkonzepte der Algebra (13)Das auchLP – Grundkonzepte der Algebra (14)sind gleichwertig.

Beispiel:

  1. "LP – Grundkonzepte der Algebra (15)" ist eine Äquivalenzrelation auf einer beliebigen MengeLP – Grundkonzepte der Algebra (16).
    die Klasse vonLP – Grundkonzepte der Algebra (17)und dannLP – Grundkonzepte der Algebra (18).
  2. "LP – Grundkonzepte der Algebra (19)„Es gibt keine ÄquivalenzbeziehungenLP – Grundkonzepte der Algebra (20).
  3. Er kannLP – Grundkonzepte der Algebra (21)eLP – Grundkonzepte der Algebra (22)"LP – Grundkonzepte der Algebra (23)Lass die Teilung vorübergehenLP – Grundkonzepte der Algebra (24)ohne Ruhe". So ist esLP – Grundkonzepte der Algebra (25)eine Äquivalenzrelation.
    Es gibt zwei Äquivalenzklassen, nämlichLP – Grundkonzepte der Algebra (26)eLP – Grundkonzepte der Algebra (27).

Klassenverhältnisse

Definition:
Ein VerhältnisLP – Grundkonzepte der Algebra (28)umLP – Grundkonzepte der Algebra (29)es läutetOrdnungsbeziehung, wenn überhauptLP – Grundkonzepte der Algebra (30)golden

  1. LP – Grundkonzepte der Algebra (31)(Reflexionsvermögen)
  2. LP – Grundkonzepte der Algebra (32)(Antisymmetrie)
    (das heißt, wennLP – Grundkonzepte der Algebra (33)wahr ist, dann musst du es tunLP – Grundkonzepte der Algebra (34)ist falsch, es sei dennLP – Grundkonzepte der Algebra (35))
  3. LP – Grundkonzepte der Algebra (36)eLP – Grundkonzepte der Algebra (37)(Transitivität).

Definition(Teil-, Gesamtauftrag):
ein geordneter SatzLP – Grundkonzepte der Algebra (38)wie oben definiertteilweise bestellt. Gültig für zwei ArtikelLP – Grundkonzepte der Algebra (39)immer wollenLP – Grundkonzepte der Algebra (40)ÖLP – Grundkonzepte der Algebra (41), es läutetLP – Grundkonzepte der Algebra (42)durchLP – Grundkonzepte der Algebra (43) komplett organisiert.

Beispiel:

  1. LP – Grundkonzepte der Algebra (44)es handelt sich um eine Ordnungsrelation.
  2. LP – Grundkonzepte der Algebra (45)es handelt sich um eine Ordnungsrelation.

Überwachung:
Beziehungen können mithilfe von Tabellen beschrieben werden:
es istLP – Grundkonzepte der Algebra (46)dann haben wir für die Beziehung“LP – Grundkonzepte der Algebra (47)"unten abgebildet

LP – Grundkonzepte der Algebra (48)

Die Symmetrie- und Reflexionseigenschaft (nurLP – Grundkonzepte der Algebra (49)-Diagonale Einträge).
für die Beziehung“LP – Grundkonzepte der Algebra (50)" Folgende Rendering-Ergebnisse

LP – Grundkonzepte der Algebra (51)

Auch hier ist leicht zu erkennen, dass die gegebene Relation reflexiv ist. Die Antisymmetrie wird verursacht durchLP – Grundkonzepte der Algebra (52)-Eingänge über der Diagonale undLP – Grundkonzepte der Algebra (53)- Einträge werden unterhalb der Diagonalen angezeigt.

Beispiel:

  1. Finden eines ÄquivalenzverhältnissesLP – Grundkonzepte der Algebra (54)über die MengeLP – Grundkonzepte der Algebra (55)mit der kleinsten Anzahl von Einträgen w in der Wahrheitstabelle, s.d.LP – Grundkonzepte der Algebra (56),LP – Grundkonzepte der Algebra (57)eLP – Grundkonzepte der Algebra (58)Anwenden:

    LP – Grundkonzepte der Algebra (59)


    Da angenommen wird, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt, istLP – Grundkonzepte der Algebra (60)-Einträge diagonal unmittelbar von der Reflexionseigenschaft. Sie bekommen mehrLP – Grundkonzepte der Algebra (61),LP – Grundkonzepte der Algebra (62)eLP – Grundkonzepte der Algebra (63), also bekommen auch diese Paare einsLP – Grundkonzepte der Algebra (64)-Einfügung über der Diagonale Aus der Transitivitätseigenschaft folgt:LP – Grundkonzepte der Algebra (65). also wir haben 4LP – Grundkonzepte der Algebra (66)-Eingänge oberhalb der Diagonale. Aus Symmetriegründen spiegeln wir es und erhalten 4 weitere diagonalLP – Grundkonzepte der Algebra (67)- Teilnahmeerklärungen. Die übrigen Felder in der Wahrheitstabelle können seinLP – Grundkonzepte der Algebra (68)Ausfüllen.
  2. Er kannLP – Grundkonzepte der Algebra (69)Konstante. zeigen, dass es so istLP – Grundkonzepte der Algebra (70)"LP – Grundkonzepte der Algebra (71)Lass die Teilung vorübergehenLP – Grundkonzepte der Algebra (72)keine Ruhe‘ fürLP – Grundkonzepte der Algebra (73)ist eine Äquivalenzrelation und gibt die relevanten Äquivalenzklassen an.
    1. KontrollierenLP – Grundkonzepte der Algebra (74), bilden iLP – Grundkonzepte der Algebra (75)und 0 endet ohne RestLP – Grundkonzepte der Algebra (76)teilbar.
    2. KontrollierenLP – Grundkonzepte der Algebra (77). SeLP – Grundkonzepte der Algebra (78)keine PauseLP – Grundkonzepte der Algebra (79)Teile, so ist esLP – Grundkonzepte der Algebra (80)keine PauseLP – Grundkonzepte der Algebra (81)teilbar. zu genießenLP – Grundkonzepte der Algebra (82).
    3. Er kannLP – Grundkonzepte der Algebra (83)eLP – Grundkonzepte der Algebra (84), Zum Beispiel.LP – Grundkonzepte der Algebra (85)eLP – Grundkonzepte der Algebra (86)sie vergehen ohne RuheLP – Grundkonzepte der Algebra (87)teilbar. DortLP – Grundkonzepte der Algebra (88)Stimmt, das ist esLP – Grundkonzepte der Algebra (89)dann eine Summe von zweiLP – Grundkonzepte der Algebra (90)teilbare Zahlen und ist daher ohne Rest vollständigLP – Grundkonzepte der Algebra (91)teilbar. Also bleibt gespanntLP – Grundkonzepte der Algebra (92).
    4. Die Äquivalenzklassen lauten wie folgt:

      LP – Grundkonzepte der Algebra (93)


(Video) Ring Examples (Abstract Algebra)

Oh Zeit

Definition(kürzester Weg):
Für viele eine Abkürzung (oder Zusammensetzung) erstellenLP – Grundkonzepte der Algebra (94)eine Regel verstehenLP – Grundkonzepte der Algebra (95), die beiden gegebenen ElementeLP – Grundkonzepte der Algebra (96)ein neuer ArtikelLP – Grundkonzepte der Algebra (97)weist zu, also ein Mapping

LP – Grundkonzepte der Algebra (98)


Beispiel:

  1. LP – Grundkonzepte der Algebra (99)eLP – Grundkonzepte der Algebra (100)sind Operationen (auf Zahlenmengen), die wir bereits kennen.
  2. Das arithmetische Mittel:LP – Grundkonzepte der Algebra (101)ist auch eine Konjunktion (auch in Zahlenmengen).

Definition(Verband):
VielLP – Grundkonzepte der Algebra (102), wofür es eine Verknüpfung gibtLP – Grundkonzepte der Algebra (103)definiert, bedeutetVerband, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:
Für allesLP – Grundkonzepte der Algebra (104)golden:

  1. LP – Grundkonzepte der Algebra (105)(Isolation)
  2. LP – Grundkonzepte der Algebra (106)(weibliche Mitarbeiterin)
  3. LP – Grundkonzepte der Algebra (107)SD.LP – Grundkonzepte der Algebra (108)(Element von Neutral)
  4. LP – Grundkonzepte der Algebra (109)(Art.-Nr. Rückseite)

Definition(Ersatzgruppe):
Gilt auch zusätzlich zu den oben genannten Eigenschaften

LP – Grundkonzepte der Algebra (110)

Es läutetLP – Grundkonzepte der Algebra (111) ErsatzteileÖabelsche Gruppe.

Beispiel:

  1. LP – Grundkonzepte der Algebra (112)es handelt sich um eine ersetzbare Gruppe im Hinblick auf die Addition. (Ich schreibe:LP – Grundkonzepte der Algebra (113)ist eine Bewegungsgruppe.)
  2. LP – Grundkonzepte der Algebra (114)ist keine multiplikative Gruppe, da die Inversen fehlen.
  3. LP – Grundkonzepte der Algebra (115)Es ist ein Ersatzteam.
  4. LP – Grundkonzepte der Algebra (116)es geht niemanden etwas anLP – Grundkonzepte der Algebra (117)immer noch relevantLP – Grundkonzepte der Algebra (118)ein Team.
  5. Er kannLP – Grundkonzepte der Algebra (119). nachLP – Grundkonzepte der Algebra (120)um.LP – Grundkonzepte der Algebra (121)eine Ersatzmannschaft.
    Um dies zu beweisen, überprüfen wir die 5 Eigenschaften:
    1. Isolation: WidderLP – Grundkonzepte der Algebra (122). Jetzt prüfen wir noch einmalLP – Grundkonzepte der Algebra (123)Vielleicht:

      LP – Grundkonzepte der Algebra (124)


      ELP – Grundkonzepte der Algebra (125)nach den Ergebnissen des FallesLP – Grundkonzepte der Algebra (126)ein Widerspruch! Damit giltLP – Grundkonzepte der Algebra (127).
    2. anwenden

      LP – Grundkonzepte der Algebra (128)


    3. LP – Grundkonzepte der Algebra (129)ist das neutrale Element, weil

      LP – Grundkonzepte der Algebra (130)


    4. ZuLP – Grundkonzepte der Algebra (131)es istLP – Grundkonzepte der Algebra (132)das umgekehrte Element, warum

      LP – Grundkonzepte der Algebra (133)


    5. Die Austauschbarkeit ergibt sich sofort:

      LP – Grundkonzepte der Algebra (134)


begrenzte Gruppen

(Video) Algebra Basics - Solving Basic Equations - Quick Review!

Bisher haben wir nur Gruppen betrachtet, die unendlich viele Elemente haben. Aus der Definition von Gruppen geht überhaupt nicht hervor, dass dies immer der Fall ist. Daher ist es nicht verwunderlich, dass es auch Gruppen mit einer begrenzten Anzahl von Elementen gibt, die sogenannten endlichen Gruppen.

Beispiel:

  1. Er kannLP – Grundkonzepte der Algebra (135).LP – Grundkonzepte der Algebra (136)ManchmalLP – Grundkonzepte der Algebra (137)eLP – Grundkonzepte der Algebra (138)weggegeben. Zeig esLP – Grundkonzepte der Algebra (139)um.LP – Grundkonzepte der Algebra (140)Es ist ein Ersatzteam.
    Zuerst geben wir die Multiplikationstabelle:

    LP – Grundkonzepte der Algebra (141)


    Die Isolierung ist leicht zu erkennen. Das Assoziativgesetz kann im Einzelfall überprüft werden. Das neutrale Element istLP – Grundkonzepte der Algebra (142). Für jedes Element gibt es eine Umkehrung, da jede Zeile eine hatLP – Grundkonzepte der Algebra (143)steht. Austauschbarkeit ist das Ergebnis des symmetrischen Gesamtbildes.
  2. Er kannLP – Grundkonzepte der Algebra (144)und selbstLP – Grundkonzepte der Algebra (145). nachLP – Grundkonzepte der Algebra (146)eine Ersatzmannschaft.
    Auch hier geben wir zunächst die Multiplikationstabelle an:

    LP – Grundkonzepte der Algebra (147)


    Und hier sieht man sofort die Isolation. Die assoziative Eigenschaft ist, das neutrale Element istLP – Grundkonzepte der Algebra (148)und jedes Element in der Gruppe hat eine Umkehrung. Die Austauschbarkeit der Gruppe lässt sich am symmetrischen Aufbau der Tabelle ablesen.

Oh ZeitLP – Grundkonzepte der Algebra (149)

Schauen wir uns nun eine besonders wichtige Gruppe an. sei immer daLP – Grundkonzepte der Algebra (150).
Er kannLP – Grundkonzepte der Algebra (151)(Ich sprecheLP – Grundkonzepte der Algebra (152)ModulLP – Grundkonzepte der Algebra (153)) die Menge der Restklassen bezüglich der Äquivalenzrelation „LP – Grundkonzepte der Algebra (154)endet ohne PauseLP – Grundkonzepte der Algebra (155)teilbar".

Beispiel:
Er kannLP – Grundkonzepte der Algebra (156), nach

  • LP – Grundkonzepte der Algebra (157)Korrespondierend zuLP – Grundkonzepte der Algebra (158), ZuLP – Grundkonzepte der Algebra (159), ZuLP – Grundkonzepte der Algebra (160),.... ist fürLP – Grundkonzepte der Algebra (161),LP – Grundkonzepte der Algebra (162),LP – Grundkonzepte der Algebra (163),...
  • LP – Grundkonzepte der Algebra (164)es entsprichtLP – Grundkonzepte der Algebra (165),LP – Grundkonzepte der Algebra (166),LP – Grundkonzepte der Algebra (167),.... eLP – Grundkonzepte der Algebra (168),LP – Grundkonzepte der Algebra (169),LP – Grundkonzepte der Algebra (170)...
  • LP – Grundkonzepte der Algebra (171)es entsprichtLP – Grundkonzepte der Algebra (172),LP – Grundkonzepte der Algebra (173),LP – Grundkonzepte der Algebra (174),... eLP – Grundkonzepte der Algebra (175),LP – Grundkonzepte der Algebra (176),LP – Grundkonzepte der Algebra (177),...

Wir bilden also Äquivalenzklassen

LP – Grundkonzepte der Algebra (178)


LP – Grundkonzepte der Algebra (179)es hat nur 3 verschiedene Elemente.

Definition:
Bei Gruppen spricht man von der ÄquivalenzklasseLP – Grundkonzepte der Algebra (180)AuchLP – Grundkonzepte der Algebra (181).

Beispiel:
Zum BeispielLP – Grundkonzepte der Algebra (182).

Definition(Verbinden mitLP – Grundkonzepte der Algebra (183)):
Sie definieren die MengeLP – Grundkonzepte der Algebra (184)eine Ergänzung:

LP – Grundkonzepte der Algebra (185)


LP – Grundkonzepte der Algebra (186)wird ein Ersatzteam sein.

Überwachung:
Die Eigenschaften einer Äquivalenzrelation stellen sicher, dass diese Addition „wohldefiniert“ ist. „Wohldefiniert“ muss so verstanden werden, dass bei Auswahl anderer „Vertreter“ das gleiche Ergebnis erzielt wird:
es istLP – Grundkonzepte der Algebra (187)comLP – Grundkonzepte der Algebra (188)eLP – Grundkonzepte der Algebra (189)über die ÄquivalenzrelationLP – Grundkonzepte der Algebra (190)von oben. Also mit anderen WortenLP – Grundkonzepte der Algebra (191)eLP – Grundkonzepte der Algebra (192). Ihre ImmobilienLP – Grundkonzepte der Algebra (193)als Äquivalenzrelation, also stellen Sie sicher, dass

(Video) Stochastik 1: VL14 -- Ein bisschen Funktionalanalysis

LP – Grundkonzepte der Algebra (194)

bewerben. Mathematisch bedeutet dies, dass die Addition auf diese Weise definiert istLP – Grundkonzepte der Algebra (195)ist gut definiert.

Beispiel:
Das möchten wir zeigenLP – Grundkonzepte der Algebra (196)über das oben GesagteLP – Grundkonzepte der Algebra (197)Es ist ein Team. Zuerst listen wir die Linktabelle auf:

LP – Grundkonzepte der Algebra (198)

Warum in der Tabelle nur Daten vonLP – Grundkonzepte der Algebra (199)passiert, ist die Gruppe komplett. Die Verbindung kann überprüft werden.LP – Grundkonzepte der Algebra (200)ist das neutrale Element und es gibt eines in jeder ZeileLP – Grundkonzepte der Algebra (201)auftritt, präsentiert jedes ElementLP – Grundkonzepte der Algebra (202)eine inverse Addition Die Gruppe ist kommutativ, wie aus der Symmetrie der Matrix leicht ersichtlich ist.
Folge es (LP – Grundkonzepte der Algebra (203),+) ist eine kommutative Gruppe.

Beispiel:
EmLP – Grundkonzepte der Algebra (204)golden:

  1. LP – Grundkonzepte der Algebra (205),
  2. LP – Grundkonzepte der Algebra (206)e
  3. LP – Grundkonzepte der Algebra (207).

Überwachung:
Oft werden Äquivalenzklassen angegebenLP – Grundkonzepte der Algebra (208)auch mit DatenLP – Grundkonzepte der Algebra (209). An diesen Elementen werden dann arithmetische Operationen durchgeführt.LP – Grundkonzepte der Algebra (210)informiert.

Beispiel:
In diesem Sinne alsoLP – Grundkonzepte der Algebra (211), ÖLP – Grundkonzepte der Algebra (212). AuchLP – Grundkonzepte der Algebra (213)eLP – Grundkonzepte der Algebra (214)Es spielt also keine Rolle, wessen „Vertreter“ es istLP – Grundkonzepte der Algebra (215)ist gewählt.

Körper

Ein KörperLP – Grundkonzepte der Algebra (216)ist eine kommutative Gruppe, in der eine zweite Operation definiert ist, die irgendwie der ersten Operation entspricht:

Definition:
Er kannLP – Grundkonzepte der Algebra (217)eine Austauschgruppe mit einem neutralen ElementLP – Grundkonzepte der Algebra (218)eLP – Grundkonzepte der Algebra (219)noch ein LinkLP – Grundkonzepte der Algebra (220). also rief er anLP – Grundkonzepte der Algebra (221) Körper, seLP – Grundkonzepte der Algebra (222)in Bezug auf dieLP – Grundkonzepte der Algebra (223)ist eine Reservegruppe und

LP – Grundkonzepte der Algebra (224)

für allesLP – Grundkonzepte der Algebra (225)golden.

Überwachung:
ZeigenLP – Grundkonzepte der Algebra (226)ist ein Körper, 11 Postulate müssen verifiziert werden:

ZuLP – Grundkonzepte der Algebra (227)

  1. Isolation
  2. Assoziativität
  3. neutrales Objekt
  4. Umkehrelement
  5. Austauschbarkeit

ZuLP – Grundkonzepte der Algebra (228)eLP – Grundkonzepte der Algebra (229)

  1. Isolation
  2. Assoziativität
  3. neutrales Objekt
  4. Umkehrelement
  5. Austauschbarkeit

für beide Verknüpfungen

(Video) Algebra und Mathematik, erklärt mit einfach verständlichen 3D-Animationen.

  1. für sie verteilen

    LP – Grundkonzepte der Algebra (230)


Beispiel:

  1. LP – Grundkonzepte der Algebra (231)es ist ein Körper
  2. LP – Grundkonzepte der Algebra (232)es ist ein Körper
  3. LP – Grundkonzepte der Algebra (233)es ist ein Körper.

Abschließend stellt sich die Frage, ob für jedenLP – Grundkonzepte der Algebra (234)es stimmtLP – Grundkonzepte der Algebra (235)es ist ein Körper. Deshalb definieren wirLP – Grundkonzepte der Algebra (236)eine andere Verknüpfung, zum Beispiel

LP – Grundkonzepte der Algebra (237)

Auch hier ergibt sich die „Wohldefiniertheit“ dieses Zusammenhangs aus den Axiomen einer Äquivalenzrelation.

Anregung(ohne Beweis):
LP – Grundkonzepte der Algebra (238)dann und nur dann entsteht ein KörperLP – Grundkonzepte der Algebra (239)ist eine Primzahl.

Überwachung:
Dieser Satz wird drin seinAGLAmuss bewiesen werden.

Definition:
UNDLP – Grundkonzepte der Algebra (240)eine Primzahl, so schreiben wir es

LP – Grundkonzepte der Algebra (241)


Beispiel:

  1. (LP – Grundkonzepte der Algebra (242),LP – Grundkonzepte der Algebra (243),LP – Grundkonzepte der Algebra (244)) ist kein Körper, wie er auch istLP – Grundkonzepte der Algebra (245)es gibt keinen inversen Multiplikationsfaktor:

    LP – Grundkonzepte der Algebra (246)

    LP – Grundkonzepte der Algebra (247)


  2. (LP – Grundkonzepte der Algebra (248),LP – Grundkonzepte der Algebra (249),LP – Grundkonzepte der Algebra (250)) ist ein Feld, wie in den Linktabellen gezeigt:

    LP – Grundkonzepte der Algebra (251)

    LP – Grundkonzepte der Algebra (252)


Literarischer Abschluss

Ein Beispiel für „Einheitenrechnung“ findet sich auch bei Johann Wolfgang von Goethe: Faust. Tragödie Teil eins. (Hexenküche):

Du musst verstehen!
Wende eins bis zehn
Und zwei lassen los
Und drei tun dasselbe
du bist reich
Verliere alle vier!
von fünf und sechs
So sagt die Hexe
mach sieben und acht
Siehe wie:
Und neun ist eins
Und zehn ist es nicht.
Das ist Hexerei 101.

(Video) Abstract-ness | Introduction to algebra | Algebra I | Khan Academy

Überwachung:
Abgesehen von der Diskrepanz im zweiten Vers ist dies das BerechnungsmodulLP – Grundkonzepte der Algebra (253)d.h. der KörperLP – Grundkonzepte der Algebra (254).

Videos

1. Inverse Matrizen, Lösungsraum und Nullraum | Essenz der Linearen Algebra, Kapitel 6
(3Blue1Brown)
2. (A) Linear algebra 21: Lp-spaces of integrable functions
(Tübingen Machine Learning)
3. Operations Research 09A: Ganzzahlige Programmierung vs. Lockerung der linearen Programmierung
(Yong Wang)
4. Was sind überhaupt Vektoren? Die Essenz der Linearen Algebra, Kapitel 1
(3Blue1Brown)
5. Linear Algebra - 19 - Basis for Column Space
(The Lazy Engineer)
6. Abstrakte Vektorräume | Grundlagen der linearen Algebra, Kapitel 11
(3Blue1Brown)
Top Articles
Latest Posts
Article information

Author: Rueben Jacobs

Last Updated: 05/27/2023

Views: 6302

Rating: 4.7 / 5 (57 voted)

Reviews: 80% of readers found this page helpful

Author information

Name: Rueben Jacobs

Birthday: 1999-03-14

Address: 951 Caterina Walk, Schambergerside, CA 67667-0896

Phone: +6881806848632

Job: Internal Education Planner

Hobby: Candle making, Cabaret, Poi, Gambling, Rock climbing, Wood carving, Computer programming

Introduction: My name is Rueben Jacobs, I am a cooperative, beautiful, kind, comfortable, glamorous, open, magnificent person who loves writing and wants to share my knowledge and understanding with you.