Äquivalenzverhältnis
Definition:
Eine Äquivalenzrelation ist eine reziproke Beziehung zwischen den Elementen einer Menge.die spezifischen Eigenschaften sind ausreichend. "
" es wurde gesagtÄquivalenzverhältnisum
, wenn überhaupt
golden:
-
(Reflexionsvermögen)
-
(Symmetrie)
-
e
(Transitivität).
Definition(Äquivalenzklasse):
Zu niemandemDu kannstÄquivalenzklasse
bestimmend. unter der KlasseQuelle
umfasst die Gesamtheit aller Elemente von
Das auch
sind gleichwertig.
Beispiel:
- "
" ist eine Äquivalenzrelation auf einer beliebigen Menge
.
die Klasse vonund dann
.
- "
„Es gibt keine Äquivalenzbeziehungen
.
- Er kann
e
"
Lass die Teilung vorübergehen
ohne Ruhe". So ist es
eine Äquivalenzrelation.
Es gibt zwei Äquivalenzklassen, nämliche
.
Klassenverhältnisse
Definition:
Ein Verhältnisum
es läutetOrdnungsbeziehung, wenn überhaupt
golden
-
(Reflexionsvermögen)
-
(Antisymmetrie)
(das heißt, wennwahr ist, dann musst du es tun
ist falsch, es sei denn
)
-
e
(Transitivität).
Definition(Teil-, Gesamtauftrag):
ein geordneter Satzwie oben definiertteilweise bestellt. Gültig für zwei Artikel
immer wollen
Ö
, es läutet
durch
komplett organisiert.
Beispiel:
-
es handelt sich um eine Ordnungsrelation.
-
es handelt sich um eine Ordnungsrelation.
Überwachung:
Beziehungen können mithilfe von Tabellen beschrieben werden:
es istdann haben wir für die Beziehung“
"unten abgebildet
Die Symmetrie- und Reflexionseigenschaft (nur-Diagonale Einträge).
für die Beziehung“" Folgende Rendering-Ergebnisse
Auch hier ist leicht zu erkennen, dass die gegebene Relation reflexiv ist. Die Antisymmetrie wird verursacht durch-Eingänge über der Diagonale und
- Einträge werden unterhalb der Diagonalen angezeigt.
Beispiel:
- Finden eines Äquivalenzverhältnisses
über die Menge
mit der kleinsten Anzahl von Einträgen w in der Wahrheitstabelle, s.d.
,
e
Anwenden:
Da angenommen wird, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt, ist-Einträge diagonal unmittelbar von der Reflexionseigenschaft. Sie bekommen mehr
,
e
, also bekommen auch diese Paare eins
-Einfügung über der Diagonale Aus der Transitivitätseigenschaft folgt:
. also wir haben 4
-Eingänge oberhalb der Diagonale. Aus Symmetriegründen spiegeln wir es und erhalten 4 weitere diagonal
- Teilnahmeerklärungen. Die übrigen Felder in der Wahrheitstabelle können sein
Ausfüllen.
- Er kann
Konstante. zeigen, dass es so ist
"
Lass die Teilung vorübergehen
keine Ruhe‘ für
ist eine Äquivalenzrelation und gibt die relevanten Äquivalenzklassen an.
- Kontrollieren
, bilden i
und 0 endet ohne Rest
teilbar.
- Kontrollieren
. Se
keine Pause
Teile, so ist es
keine Pause
teilbar. zu genießen
.
- Er kann
e
, Zum Beispiel.
e
sie vergehen ohne Ruhe
teilbar. Dort
Stimmt, das ist es
dann eine Summe von zwei
teilbare Zahlen und ist daher ohne Rest vollständig
teilbar. Also bleibt gespannt
.
- Die Äquivalenzklassen lauten wie folgt:
- Kontrollieren
Oh Zeit
Definition(kürzester Weg):
Für viele eine Abkürzung (oder Zusammensetzung) erstelleneine Regel verstehen
, die beiden gegebenen Elemente
ein neuer Artikel
weist zu, also ein Mapping
Beispiel:
-
e
sind Operationen (auf Zahlenmengen), die wir bereits kennen.
- Das arithmetische Mittel:
ist auch eine Konjunktion (auch in Zahlenmengen).
Definition(Verband):
Viel, wofür es eine Verknüpfung gibt
definiert, bedeutetVerband, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:
Für allesgolden:
-
(Isolation)
-
(weibliche Mitarbeiterin)
-
SD.
(Element von Neutral)
-
(Art.-Nr. Rückseite)
Definition(Ersatzgruppe):
Gilt auch zusätzlich zu den oben genannten Eigenschaften
Es läutet ErsatzteileÖabelsche Gruppe.
Beispiel:
-
es handelt sich um eine ersetzbare Gruppe im Hinblick auf die Addition. (Ich schreibe:
ist eine Bewegungsgruppe.)
-
ist keine multiplikative Gruppe, da die Inversen fehlen.
-
Es ist ein Ersatzteam.
-
es geht niemanden etwas an
immer noch relevant
ein Team.
- Er kann
. nach
um.
eine Ersatzmannschaft.
Um dies zu beweisen, überprüfen wir die 5 Eigenschaften:- Isolation: Widder
. Jetzt prüfen wir noch einmal
Vielleicht:
Enach den Ergebnissen des Falles
ein Widerspruch! Damit gilt
.
- anwenden
-
ist das neutrale Element, weil
- Zu
es ist
das umgekehrte Element, warum
- Die Austauschbarkeit ergibt sich sofort:
- Isolation: Widder
begrenzte Gruppen
Bisher haben wir nur Gruppen betrachtet, die unendlich viele Elemente haben. Aus der Definition von Gruppen geht überhaupt nicht hervor, dass dies immer der Fall ist. Daher ist es nicht verwunderlich, dass es auch Gruppen mit einer begrenzten Anzahl von Elementen gibt, die sogenannten endlichen Gruppen.
Beispiel:
- Er kann
.
Manchmal
e
weggegeben. Zeig es
um.
Es ist ein Ersatzteam.
Zuerst geben wir die Multiplikationstabelle:
Die Isolierung ist leicht zu erkennen. Das Assoziativgesetz kann im Einzelfall überprüft werden. Das neutrale Element ist. Für jedes Element gibt es eine Umkehrung, da jede Zeile eine hat
steht. Austauschbarkeit ist das Ergebnis des symmetrischen Gesamtbildes.
- Er kann
und selbst
. nach
eine Ersatzmannschaft.
Auch hier geben wir zunächst die Multiplikationstabelle an:
Und hier sieht man sofort die Isolation. Die assoziative Eigenschaft ist, das neutrale Element istund jedes Element in der Gruppe hat eine Umkehrung. Die Austauschbarkeit der Gruppe lässt sich am symmetrischen Aufbau der Tabelle ablesen.
Oh Zeit
Schauen wir uns nun eine besonders wichtige Gruppe an. sei immer da.
Er kann(Ich spreche
Modul
) die Menge der Restklassen bezüglich der Äquivalenzrelation „
endet ohne Pause
teilbar".
Beispiel:
Er kann, nach
-
Korrespondierend zu
, Zu
, Zu
,.... ist für
,
,
,...
-
es entspricht
,
,
,.... e
,
,
...
-
es entspricht
,
,
,... e
,
,
,...
Wir bilden also Äquivalenzklassen
es hat nur 3 verschiedene Elemente.
Definition:
Bei Gruppen spricht man von der ÄquivalenzklasseAuch
.
Beispiel:
Zum Beispiel.
Definition(Verbinden mit):
Sie definieren die Mengeeine Ergänzung:
wird ein Ersatzteam sein.
Überwachung:
Die Eigenschaften einer Äquivalenzrelation stellen sicher, dass diese Addition „wohldefiniert“ ist. „Wohldefiniert“ muss so verstanden werden, dass bei Auswahl anderer „Vertreter“ das gleiche Ergebnis erzielt wird:
es istcom
e
über die Äquivalenzrelation
von oben. Also mit anderen Worten
e
. Ihre Immobilien
als Äquivalenzrelation, also stellen Sie sicher, dass
bewerben. Mathematisch bedeutet dies, dass die Addition auf diese Weise definiert istist gut definiert.
Beispiel:
Das möchten wir zeigenüber das oben Gesagte
Es ist ein Team. Zuerst listen wir die Linktabelle auf:
Warum in der Tabelle nur Daten vonpassiert, ist die Gruppe komplett. Die Verbindung kann überprüft werden.
ist das neutrale Element und es gibt eines in jeder Zeile
auftritt, präsentiert jedes Element
eine inverse Addition Die Gruppe ist kommutativ, wie aus der Symmetrie der Matrix leicht ersichtlich ist.
Folge es (,+) ist eine kommutative Gruppe.
Beispiel:
Emgolden:
-
,
-
e
-
.
Überwachung:
Oft werden Äquivalenzklassen angegebenauch mit Daten
. An diesen Elementen werden dann arithmetische Operationen durchgeführt.
informiert.
Beispiel:
In diesem Sinne also, Ö
. Auch
e
Es spielt also keine Rolle, wessen „Vertreter“ es ist
ist gewählt.
Körper
Ein Körperist eine kommutative Gruppe, in der eine zweite Operation definiert ist, die irgendwie der ersten Operation entspricht:
Definition:
Er kanneine Austauschgruppe mit einem neutralen Element
e
noch ein Link
. also rief er an
Körper, se
in Bezug auf die
ist eine Reservegruppe und
für allesgolden.
Überwachung:
Zeigenist ein Körper, 11 Postulate müssen verifiziert werden:
Zu
- Isolation
- Assoziativität
- neutrales Objekt
- Umkehrelement
- Austauschbarkeit
Zue
- Isolation
- Assoziativität
- neutrales Objekt
- Umkehrelement
- Austauschbarkeit
für beide Verknüpfungen
- für sie verteilen
Beispiel:
-
es ist ein Körper
-
es ist ein Körper
-
es ist ein Körper.
Abschließend stellt sich die Frage, ob für jedenes stimmt
es ist ein Körper. Deshalb definieren wir
eine andere Verknüpfung, zum Beispiel
Auch hier ergibt sich die „Wohldefiniertheit“ dieses Zusammenhangs aus den Axiomen einer Äquivalenzrelation.
Anregung(ohne Beweis):dann und nur dann entsteht ein Körper
ist eine Primzahl.
Überwachung:
Dieser Satz wird drin seinAGLAmuss bewiesen werden.
Definition:
UNDeine Primzahl, so schreiben wir es
Beispiel:
- (
,
,
) ist kein Körper, wie er auch ist
es gibt keinen inversen Multiplikationsfaktor:
- (
,
,
) ist ein Feld, wie in den Linktabellen gezeigt:
Literarischer Abschluss
Ein Beispiel für „Einheitenrechnung“ findet sich auch bei Johann Wolfgang von Goethe: Faust. Tragödie Teil eins. (Hexenküche):
Du musst verstehen!
Wende eins bis zehn
Und zwei lassen los
Und drei tun dasselbe
du bist reich
Verliere alle vier!
von fünf und sechs
So sagt die Hexe
mach sieben und acht
Siehe wie:
Und neun ist eins
Und zehn ist es nicht.
Das ist Hexerei 101.
Überwachung:
Abgesehen von der Diskrepanz im zweiten Vers ist dies das Berechnungsmoduld.h. der Körper
.